Nombre dérivé, dérivabilité et tangente à la courbe

Un peu d’histoire

C’est aux alentours de 1650 avec Fermat et surtout Newton, que la théorie du calcul infinitésimal est formalisée (on y parle beaucoup de nombre dérivé). Une révolution qui permettra de modéliser mathématiquement une grande partie des phénomènes dynamiques du monde physique.

Nombre dérivé

Soit f une fonction définie sur un intervalle I
Soit a un réel appartenant à I

A ce stade vous avez la définition d’une fonction, son intervalle de définition et la valeur d’un nombre pour lequel on souhaite calculer le nombre dérivé.

Pour calculer le nombre dérivé de f en a, il va falloir calculer la valeur d’une limite. Si cette limite existe on pourra dire que f est dérivable en a ou encore que le nombre dérivé de f existe en a.
Définition du nombre dérivée de f en a:
f'(a) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Interprétation graphique du nombre dérivé

Soit une courbe C représentative d’une fonction f définie sur I.
Pour chaque valeur a de I, on pourrait tracer la tangente à f (ou à C) en x=a.
Dans tous les cas une tangente est une droite, toujours. Hors pour tracer proprement une droite il est impératif de connaître le coefficient directeur de cette droite. Une fois que l’on a le coefficient directeur de la tangente, on se place sur la courbe C en x=a et on trace la tangente à partir de là.

C’est ici que la magie commence à opérer. La valeur du coefficient directeur de la tangente à f en x=a n’est autre que la valeur de nombre dérivée à f en a, c’est à dire f'(a).

Maths dérivée tangeante
Nombré dérivée – tangente

Si f est dérivable en a, le nombre dérivé de f en a, noté f′(a), est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point A(a;f(a)).