Probabilité – Première – Variable aléatoire

Probabilité

Cette fiche de maths est une fiche de savoir faire sur les probabilités en classe de première. Plus particulièrement, ce cours décrit ce qu’il faut savoir faire avec les variables aléatoires.

Rappel de cours

Variable aléatoire

On parle de variable aléatoire dès lors que l’on réalise une correspondance entre une issue d’expérience aléatoire et une valeur numérique. Les jeux de hasard sont un bon exemple de variable aléatoire car on associe l’issue du jeu à un gain ou à une perte.

Loi de probabilité

Une loi de probabilité est associée à une variable aléatoire. Une loi de probabilité explicite l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire et la probabilité associée à chaque valeur possible de la variable aléatoire.

Enoncé type

On lance deux dés à quatre faces et l’on multiplie les résultats obtenus. On appelle X la variable aléatoire égale au résultat obtenu.

Question 1: Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X?

Question 2: Déterminer la loi de probabilité de X

Question 3: Calculer l’espérance et interpréter le résultat obtenu

Correction

Déterminer l’univers de l’expérience

Chaque dé est numéroté de 1 à 4 et on lance deux dés. Les issues possibles de l’expérience sont donc:

1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 4-1, 4-2, 4-3, 4-4
et card Univers = 16

Evaluer la variable aléatoire pour chaque événement de l’univers

D’après l’énoncé pour évaluer la valeur de la variable aléatoire X, on calcul le produit de la valeur sortie de chaque dé, d’où les valeurs possibles suivantes pour X:

1, 2, 3, 4, 2, 4, 6, 8, 3, 6, 9, 12, 4, 8, 12, 16
Ce qui donne une fois trié: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16

Calculer la probabilité d’obtenir chacune des valeurs de la variable aléatoire

Reste donc à calculer la probabilité d’obtenir chacune de ses valeurs pour X.

Il n’y a qu’une seule manière d’obtenir X=1, c’est d’obtenir 1-1 aux lancés. D’où p(X=1)= 1/16 (16 est le cardinal de l’univers et il n’y a qu’une seule issue favorable)

Il y a deux manières d’obtenir X=2, c’est obtenir 1-2 ou 2-1 aux lancés. D’où p(X=2) = 2/16 = 1/8

Il y a deux manières d’obtenir X=3, c’est obtenir 1-3 ou 3-1 aux lancés. D’où p(X=3) = 2/16 = 1/8

Il y a trois manières d’obtenir X=4, c’est obtenir 1-4 ou 4-1 ou 2-2 aux lancés. D’où p(X=4) = 3/16 

Il y a deux manières d’obtenir X=6 ou X=8, d’où:
p(X=6)=2/16 et p(X=8)=2/16

Il n’y a qu’une seule manière d’obtenir X=9, c’est d’obtenir 3-3 aux lancés. D’où p(X=9)= 1/16

Il y a deux manières d’obtenir X=12, c’est obtenir 6-2 ou 2-6 aux lancés. D’où p(X=12) = 2/16 = 1/8

Il y a une manière d’obtenir X=16, c’est obtenir 4-4 aux lancés. D’où  p(X=16) = 1/16

Expliciter la loi de probabilité:

Loi de probabilité
Loi de probabilité