Somme de vecteurs, calcul de coordonnées et colinéarité

vecteurs colinéarité classe seconde

Cet article est principalement un cours de maths sur les vecteurs pour les élèves de classe de seconde. Il constitue également un très bon rappel sur la colinéarité pour les élèves qui entrent en classe de première S.

Cette fiche de cours se veut synthétique. Vous pouvez considérer que tout ce qui décrit dans cet article doit être connu et maîtrisé. Chaque point de cours est illustré par un exercice afin de faciliter le passage entre le « savoir » et le « savoir faire ».

Notion de vecteur

Il est important de retenir qu’un vecteur \overrightarrow{AB} est défini par:

  1. Son sens: de A vers B
  2. Sa direction: la direction de la droite AB
  3. Sa  norme: longueur du segment [AB]

Le vecteur est une translation

Il est important également de retenir qu’un vecteur est une opération qui permet de transformer un point A en un point B, une translation de vecteur \overrightarrow{AB} est une translation qui permet de passer du point A au point B.

De fait, vous pouvez considérer qu’un vecteur est un déplacement, et que les vecteurs du plan sont des tous des déplacements.

Une définition pratique: la règle du parallélogramme

Soient A et B deux points du plan.
La translation qui transforme A en B est la transformation qui à un point M associe l‘unique point M‘ tel que [AM‘] et [BM] aient le même milieu (si M est différent de A, cela revient à dire que ABM‘M est un parallélogramme éventuellement aplati).

M’ image de M par \overrightarrow{AB} si et seulement si ABM’M est un parallélogramme

Addition graphique de vecteurs ou la relation de Chasles

Soient A, B et C, trois points du plan. On a :

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Cette relation permet de construire graphiquement la somme de deux vecteurs, c’est là règle du:

Je me déplace de A vers B, puis je me déplace de B vers C, donc globalement je suis parti de A et je suis arrivé à C.

Soustraction de vecteurs

Pour donner un sens à l’opération de soustraction, il faut introduire l’idée de vecteur opposé. Le vecteur opposé de \overrightarrow{AB} c’est par définition le vecteur –\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}

Et donc pour soustraire deux vecteurs:

\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MN}  = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{NM}

Donc soustraire deux vecteurs c’est finalement s’arranger pour additionner deux vecteurs.

Coordonnées d’un vecteur

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} sont :
\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)
avec:
A(x_A;y_A)
B(x_B;y_B)

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées:
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}
se traduit par définition par:
x_B-x_A = x_D-x_C
y_B-y_A = y_D-y_C

Norme d’un vecteur

La norme du \overrightarrow{AB} est égale à la distance entre A et B.
Avec:
A(x_A;y_A)
B(x_B;y_B)

La distance entre A et B vaut:
\sqrt[2]{(y_B-y_A)^2+(x_B-x_A)^2}

Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs se définit du point de vue des coordonnées par:
\overrightarrow{u}(a;b)+\overrightarrow{v}(c;d)=\overrightarrow{w}(a+c;b+d)
Additionner deux vecteurs dans le contexte des coordonnées est donc une opération très simple puisqu’il suffit d’additionner leurs abscisses et leurs ordonnées.

Dans le cas général la somme des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD}:
Soit \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A) et \overrightarrow{CD}(x_D-x_C;y_D-y_C):
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = ((x_B-x_A) + (x_D-x_C);(y_B-y_A)+(y_D-y_C))

Vecteurs et colinéarité

Multiplication d’un vecteur par un entier k

Pour multiplier un vecteur par un entier il faut multiplier chaque coordonnée du vecteur par cet entier:
k*\overrightarrow{AB} = (k(x_B-x_A);k(y_B-y_A))

Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que:
\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}
ou
\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}

On dit que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Montrer que deux vecteurs sont colinéaires

Les vecteurs \overrightarrow{u}(a,b) et \overrightarrow{v}(c,d) sont colinéaires si et seulement si :
a*d = b*c
En d’autre terme dès lors que l’on a accès aux coordonnées de deux vecteurs, il est aisé de savoir s’ils sont colinéaires ou pas.