Nombre dérivé, dérivabilité et tangente à la courbe

Un peu d’histoire

C’est aux alentours de 1650 avec Fermat et surtout Newton, que la théorie du calcul infinitésimal est formalisée (on y parle beaucoup de nombre dérivé). Une révolution qui permettra de modéliser mathématiquement une grande partie des phénomènes dynamiques du monde physique.

Nombre dérivé

Soit f une fonction définie sur un intervalle I
Soit a un réel appartenant à I

A ce stade vous avez la définition d’une fonction, son intervalle de définition et la valeur d’un nombre pour lequel on souhaite calculer le nombre dérivé.

Pour calculer le nombre dérivé de f en a, il va falloir calculer la valeur d’une limite. Si cette limite existe on pourra dire que f est dérivable en a ou encore que le nombre dérivé de f existe en a.
Définition du nombre dérivée de f en a:
f'(a) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Interprétation graphique du nombre dérivé

Soit une courbe C représentative d’une fonction f définie sur I.
Pour chaque valeur a de I, on pourrait tracer la tangente à f (ou à C) en x=a.
Dans tous les cas une tangente est une droite, toujours. Hors pour tracer proprement une droite il est impératif de connaître le coefficient directeur de cette droite. Une fois que l’on a le coefficient directeur de la tangente, on se place sur la courbe C en x=a et on trace la tangente à partir de là.

C’est ici que la magie commence à opérer. La valeur du coefficient directeur de la tangente à f en x=a n’est autre que la valeur de nombre dérivée à f en a, c’est à dire f'(a).

Maths dérivée tangeante
Nombré dérivée – tangente

Si f est dérivable en a, le nombre dérivé de f en a, noté f′(a), est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point A(a;f(a)).

Le second degré – Première – Fiche de synthèse

Ce cours de maths est une fiche de synthèse sur le second degré. Elle permet de faire le point sur ce qu’il y a à savoir sur les formes développées, canoniques et factorisée.

L’essentiel sur le second degré en classe de première

  • Voici comment déterminer la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré.
  • Vous allez apprendre grâce à plusieurs formules à résoudre une équation du second degré.

Définitions: fonctions, trinômes et équations du second degré

Etant donnés trois nombres réels a, b et c, avec a ≠ 0, la fonction f, définie sur par
f(x) =ax^2 +bx +c
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Probabilité – Première – Variable aléatoire

Probabilité

Cette fiche de maths est une fiche de savoir faire sur les probabilités en classe de première. Plus particulièrement, ce cours décrit ce qu’il faut savoir faire avec les variables aléatoires.

Rappel de cours

Variable aléatoire

On parle de variable aléatoire dès lors que l’on réalise une correspondance entre une issue d’expérience aléatoire et une valeur numérique. Les jeux de hasard sont un bon exemple de variable aléatoire car on associe l’issue du jeu à un gain ou à une perte.

Loi de probabilité

Une loi de probabilité est associée à une variable aléatoire. Une loi de probabilité explicite l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire et la probabilité associée à chaque valeur possible de la variable aléatoire.

Enoncé type

On lance deux dés à quatre faces et l’on multiplie les résultats obtenus. On appelle X la variable aléatoire égale au résultat obtenu.

Question 1: Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X?

Question 2: Déterminer la loi de probabilité de X

Question 3: Calculer l’espérance et interpréter le résultat obtenu

Correction

Déterminer l’univers de l’expérience

Chaque dé est numéroté de 1 à 4 et on lance deux dés. Les issues possibles de l’expérience sont donc:

1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 4-1, 4-2, 4-3, 4-4
et card Univers = 16

Evaluer la variable aléatoire pour chaque événement de l’univers

D’après l’énoncé pour évaluer la valeur de la variable aléatoire X, on calcul le produit de la valeur sortie de chaque dé, d’où les valeurs possibles suivantes pour X:

1, 2, 3, 4, 2, 4, 6, 8, 3, 6, 9, 12, 4, 8, 12, 16
Ce qui donne une fois trié: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16

Calculer la probabilité d’obtenir chacune des valeurs de la variable aléatoire

Reste donc à calculer la probabilité d’obtenir chacune de ses valeurs pour X.

Il n’y a qu’une seule manière d’obtenir X=1, c’est d’obtenir 1-1 aux lancés. D’où p(X=1)= 1/16 (16 est le cardinal de l’univers et il n’y a qu’une seule issue favorable)

Il y a deux manières d’obtenir X=2, c’est obtenir 1-2 ou 2-1 aux lancés. D’où p(X=2) = 2/16 = 1/8

Il y a deux manières d’obtenir X=3, c’est obtenir 1-3 ou 3-1 aux lancés. D’où p(X=3) = 2/16 = 1/8

Il y a trois manières d’obtenir X=4, c’est obtenir 1-4 ou 4-1 ou 2-2 aux lancés. D’où p(X=4) = 3/16 

Il y a deux manières d’obtenir X=6 ou X=8, d’où:
p(X=6)=2/16 et p(X=8)=2/16

Il n’y a qu’une seule manière d’obtenir X=9, c’est d’obtenir 3-3 aux lancés. D’où p(X=9)= 1/16

Il y a deux manières d’obtenir X=12, c’est obtenir 6-2 ou 2-6 aux lancés. D’où p(X=12) = 2/16 = 1/8

Il y a une manière d’obtenir X=16, c’est obtenir 4-4 aux lancés. D’où  p(X=16) = 1/16

Expliciter la loi de probabilité:

Loi de probabilité
Loi de probabilité