Somme de vecteurs, calcul de coordonnées et colinéarité

vecteurs colinéarité classe seconde

Cet article est principalement un cours de maths sur les vecteurs pour les élèves de classe de seconde. Il constitue également un très bon rappel sur la colinéarité pour les élèves qui entrent en classe de première S.

Cette fiche de cours se veut synthétique. Vous pouvez considérer que tout ce qui décrit dans cet article doit être connu et maîtrisé. Chaque point de cours est illustré par un exercice afin de faciliter le passage entre le « savoir » et le « savoir faire ».

Notion de vecteur

Il est important de retenir qu’un vecteur \overrightarrow{AB} est défini par:

  1. Son sens: de A vers B
  2. Sa direction: la direction de la droite AB
  3. Sa  norme: longueur du segment [AB]

Le vecteur est une translation

Il est important également de retenir qu’un vecteur est une opération qui permet de transformer un point A en un point B, une translation de vecteur \overrightarrow{AB} est une translation qui permet de passer du point A au point B.

De fait, vous pouvez considérer qu’un vecteur est un déplacement, et que les vecteurs du plan sont des tous des déplacements.

Une définition pratique: la règle du parallélogramme

Soient A et B deux points du plan.
La translation qui transforme A en B est la transformation qui à un point M associe l‘unique point M‘ tel que [AM‘] et [BM] aient le même milieu (si M est différent de A, cela revient à dire que ABM‘M est un parallélogramme éventuellement aplati).

M’ image de M par \overrightarrow{AB} si et seulement si ABM’M est un parallélogramme

Addition graphique de vecteurs ou la relation de Chasles

Soient A, B et C, trois points du plan. On a :

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Cette relation permet de construire graphiquement la somme de deux vecteurs, c’est là règle du:

Je me déplace de A vers B, puis je me déplace de B vers C, donc globalement je suis parti de A et je suis arrivé à C.

Soustraction de vecteurs

Pour donner un sens à l’opération de soustraction, il faut introduire l’idée de vecteur opposé. Le vecteur opposé de \overrightarrow{AB} c’est par définition le vecteur –\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}

Et donc pour soustraire deux vecteurs:

\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MN}  = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{NM}

Donc soustraire deux vecteurs c’est finalement s’arranger pour additionner deux vecteurs.

Coordonnées d’un vecteur

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} sont :
\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)
avec:
A(x_A;y_A)
B(x_B;y_B)

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées:
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}
se traduit par définition par:
x_B-x_A = x_D-x_C
y_B-y_A = y_D-y_C

Norme d’un vecteur

La norme du \overrightarrow{AB} est égale à la distance entre A et B.
Avec:
A(x_A;y_A)
B(x_B;y_B)

La distance entre A et B vaut:
\sqrt[2]{(y_B-y_A)^2+(x_B-x_A)^2}

Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs se définit du point de vue des coordonnées par:
\overrightarrow{u}(a;b)+\overrightarrow{v}(c;d)=\overrightarrow{w}(a+c;b+d)
Additionner deux vecteurs dans le contexte des coordonnées est donc une opération très simple puisqu’il suffit d’additionner leurs abscisses et leurs ordonnées.

Dans le cas général la somme des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD}:
Soit \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A) et \overrightarrow{CD}(x_D-x_C;y_D-y_C):
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = ((x_B-x_A) + (x_D-x_C);(y_B-y_A)+(y_D-y_C))

Vecteurs et colinéarité

Multiplication d’un vecteur par un entier k

Pour multiplier un vecteur par un entier il faut multiplier chaque coordonnée du vecteur par cet entier:
k*\overrightarrow{AB} = (k(x_B-x_A);k(y_B-y_A))

Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que:
\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}
ou
\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}

On dit que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Montrer que deux vecteurs sont colinéaires

Les vecteurs \overrightarrow{u}(a,b) et \overrightarrow{v}(c,d) sont colinéaires si et seulement si :
a*d = b*c
En d’autre terme dès lors que l’on a accès aux coordonnées de deux vecteurs, il est aisé de savoir s’ils sont colinéaires ou pas.

Statistique – Seconde – Fiche de savoir faire

Ce cours de maths est une fiche de savoir faire sur les statistiques en classe de seconde. Cette fiche doit permettre de résoudre 95% des exercices susceptibles de vous être posés.

Il s’agit d’une fiche orientée méthode, qui suppose que vous connaissiez déjà vos formules.

L’énoncé

Dans 95% des cas, l’énoncé vous fournira un tableau de données statistiques.

Ma série est-elle quantitative?

Pour vous oui forcemment, mais il faut savoir que les valeurs du caractère d’une série quantitative sont des valeurs numériques alors que les valeurs du caractère d’une série qualitative ne sont pas des valeurs numériques

Ma série est discrète

Cela signifie que les valeurs prisent par le caractère de la série sont des nombres et pas des intervalles

Ma série est continue

Cela signifie que les valeurs prisent par le caractère de la série sont des intervalles et pas des nombres.

Méthode de résolution

Dans la plupart des cas, l’énoncé contient les questions:

  • calcul de la moyenne
  • calcul de la médiane, Q1 et Q3

Ma série est discrète

L’énoncé fournit les effectifs

Calcul de la moyenne

On utilise la formule du calcul de la moyenne à partir des effectifs:

\overline{x} = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + ... + n_px_p}{N}
avec N qui désigne l’effectif total:
N = n1+n2+...+np

Calcul de la mediane
N est pair

On calcul N/2.
On calcul N/2 + 1.
On cherche dans le tableau de données les valeurs associées aux deux effectifs que l’on vient de calculer.
Médiane = valeur moyenne des 2 valeurs associées

N est impair

On calcul N/2 et on arrondit à l’entier au dessus.
On cherche dans le tableau de données la valeur associée à l’effectif que l’on vient de calculer.
Médiane = valeur associée

CALCUL DE Q1 ET Q3

Pour Q1, on calcul N/4 et on arrondit au dessus.
Q1= valeur associée à l’effectif que l’on vient de calculer.

Pour Q3, on calcul 3N/4 et on arrondit au dessus.
Q3 = valeur associée à l’effectif que l’on vient de calculer.

L’énoncé fournit les fréquences

Calcul de la moyenne

On utilise la formule du calcul de la moyenne à partir des fréquences
\overline{x} = f_1x_1 + f_2x_2 + ... + f_px_p

calcul des FRÉQUENCES CUMULÉES

On rajoute une ligne au tableau de données et on la remplit avec les valeurs des fréquences cumulées.
En dernière colonne, la fréquence cumulée doit être égale à 1 (ou 100% si les fréquences sont exprimés en pourcentage).

diagramme des frequences cumulees

Sur les y il y a les fréquences cumulées qui varient de 0 à 1 ou de 0 à 100% (en fonction de si les fréquences sont en % ou non).
Sur les x il y a les valeurs du caractère étudié qui varie de x_1 à x_p.
On relie les points par des segments.
On trace des segments point à point

calcul de mediane, q1 et q3

Pour la médiane, on cherche un point sur le diagramme qui a un y de 50% ou 0,5
Médiane = le x du point trouvé

Pour Q1, on cherche un point sur le diagramme qui a un y de 25% ou 0,25
Q1 = le x du point trouvé

Pour Q3, on cherche un point sur le diagramme qui a un y de 75% ou 0,75
Q3 = le x du point trouvé

Ma série est continue

Calcul des fréquences

Si l’énoncé ne fournit pas les fréquences, il faut rajouter une ligne au tableau et calculer la fréquence pour chaque colonne.
f_i = \frac{n_i}{N}

Calcul des xi

On décide que chaque x_i à la valeur du milieu de l’intervalle auquel il appartient.
Par exemple pour représenter l’intervalle [10, 20] : on utilisera un x_i qui vaut 15 dans le calcul de la moyenne.

Calcul de la moyenne

On utilise la formule du calcul de la moyenne à partir des effectifs ou à partir des fréquences:
\overline{x} = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + ... + n_px_p}{N}
\overline{x} = f_1x_1 + f_2x_2 + ... + f_px_p

Calcul des fréquences cumulées

On rajoute une ligne au tableau de données et on la remplit avec les valeurs des fréquences cumulées.
En dernière colonne, la fréquence cumulée doit être égale à 1 (ou 100% si les fréquences sont exprimées en pourcentage).

Diagramme des fréquences cumulées

Sur les y il y a les fréquences cumulées qui varient de 0 à 1 ou de 0 à 100% (en fonction de si les fréquences sont en % ou non).
Sur les x il y a le caractère étudié. Dans le cas d’une série continue, on représente sur l’axe des x, la valeur supérieur de chaque intervalle.
On relie les points par des segments.
On trace des segments point à point

Calcul de médiane, Q1 et Q3

Pour la médiane, on cherche un point sur le diagramme qui a un y de 50% ou 0,5
Médiane = le x du point trouvé

Pour Q1, on cherche un point sur le diagramme qui a un y de 25% ou 0,25
Q1 = le x du point trouvé

Pour Q3, on cherche un point sur le diagramme qui a un y de 75% ou 0,75
Q3 = le x du point trouvé

Calculer des équations de droites et tracer des courbes

Les droites - seconde

Ce cours de maths est une fiche de cours sur les droites en classe de seconde

Tout savoir sur les droites en classe de seconde

  • Comment déterminer une équation de droite?
  • quels sont les éléments de cours à connaître?
  • les méthodes à connaître?
  • faites le tour des questions possibles.

Milieu d’un segment

Si l’on connaît les coordonnées de deux points du plan, A(xA ; yA ) et B(xB; yB ), dans un repère quelconque (O, I, J), les coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales à :
x_{milieu} = \frac{x_A + x_B}{2}
y_{milieu} = \frac{y_A + y_B}{2}
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Série statistique quantitative, fréquence et moyenne

Cette fiche de maths est un cours sur les statistiques en classe de seconde. La fiche de savoir faire associée détaille tout ce qu’y peut être fait à partir de la connaissance du cours

Les séries statistiques

Définition: Population

Une population est un ensemble d’individus.

Définition: Echantillon

Lorsque l’effectif d’une population est trop important, on étudie ses caractères à partir d’un échantillon représentatif qui est une partie de la population.

Définition: Caractère

Un caractère est une caractéristique qui définit les individus d’une population, et dont les valeurs sont différentes d’un individu à un autre de la population.
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Géométrie dans l’espace – Seconde – Fiche de cours

Cette fiche de maths est un cours sur la géométrie dans l’espace en classe de seconde.

Les principaux points abordés sont:

  • Perspective cavalière
  • Patrons
  • Géométrie plane dans l’espace
  • Droites Plans
  • Axiomes de Géométrie dans l’espace
  • Positions relatives de deux droites
  • Positions relatives de deux plans
  • Positions relatives d’une droite et d’un plan
  • Propriétés de parallélisme dans l’espace

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