La factorisation – Troisième – Savoir faire

calcul littéral

Ce cours de maths est une fiche de savoir faire sur la factorisation en classe de troisième. Elle contient du cours, des méthodes et des exercices résolus.

Identifier les termes factorisables

Seuls les termes appartenant au même groupe de parenthèse (entre eux il n’y a aucune parenthèse) peuvent être factorisés entre eux.

Pour chaque expression suivante, identifier les termes qui peuvent être factorisés ensemble:
A(x)=x
L’expression ne peut être factorisée, car pour pouvoir factoriser une expression il faut au minimum une somme/soustraction de deux termes.
B(x)=x+1
Il y a deux termes factorisables entre eux: x et 1
B(x)=2x+1+x
Il y a trois termes factorisables entre eux: 2x, 1 et x
B(x)=2x(2x+2)-(x+1)
Il y a ici deux groupes de termes factorisables entre eux:

Le groupe qui contient les termes factorisables entre eux: 2x(2x+2) et (x+1)
En zoomant sur 2x(2x+2):

on trouve 2x qui ne peut être factorisé avec personne,
(2x+2) qui contient deux termes factorisables entre eux,

En zoomant sur (x+1) on constate que c’est un groupe qui contient deux termes factorisables entre eux.

B(x)=2x(2x+3)(4x+6)-(x+1)
Il y a ici trois groupes de termes factorisables entre eux:

Le groupe qui contient les termes factorisables entre eux: 2x(2x+3)(4x+6) et (x+1)
En zoomant sur 2x(2x+3)(4x+6):

on trouve 2x qui ne peut être factorisé avec personne,
(2x+3) qui contient deux termes factorisables entre eux,
(4x+6) qui contient également deux termes factorisables entre eux.

En zoomant sur (x+1) on constate que c’est un groupe qui contient deux termes factorisables entre eux.

Note: on voit bien que 2x+3 et 4x+6 ne sont pas entre eux candidat à la factorisation.

Factoriser avec un facteur en commun

Dès lors que nous avons addition/soustraction d’au moins 2 termes, toutes les formules de factorisation s’appliquent. La formule la plus général est:
ka+kb=k(a+b)

De gauche à droite on peut lire la formule de factorisation
De droite à gauche on peut lire la formule de distributivité

Avec k=2x+3, a=x^2+1, b=6, en appliquant la formule de factorisation on trouve:
A(x)=ka+kb

A(x)=(2x+3)(x^2+1) + (2x+3)6

A(x)= (2x+3)(x^2+1+6)

  • Pour chaque expression suivante, identifiez k, a et b puis factorisez l’expression littérale:

A = ( h + 3 ) ( 2h + 4 ) + ( h + 8 ) ( h + 3 )
A = ( h + 3 ) [ ( 2h + 4 ) + ( h + 8 ) ]
A = ( h + 3 ) ( 3h + 12 )
A = 3 ( h + 4 ) ( h + 3 )

B = ( 2h - 5 ) ( h - 1 ) - ( 2h - 5 ) (2h - 3 )
B = ( 2h - 5 ) [ ( h - 1 ) - ( 2h - 3 )
B = ( 2h - 5 ) [ h - 1 - 2h + 3
B = ( 2h - 5 ) ( -h + 2 )

C = ( h + 1 ) ( h + 2 ) + ( h + 1) ( 2h - 1 ) - ( h + 1 ) h
C = ( h + 1 ) [ ( h + 2 ) + ( 2h - 1 ) - h ]
C = ( h + 1 ) [ h + 2 + 2h - 1 - h ]
C = ( h + 1 ) ( 2h + 1 )

D = ( h + 4 ) ( 2h - 2 ) ( 3h - 1 ) + ( h + 4 ) ( 2h - 2 ) ( 5h - 3 )
D = ( h + 4 ) ( 2h - 2 ) [ ( 3h - 1 ) + ( 5h - 3 ) ]
D = ( h + 4 ) ( 2h - 2 ) [ 8h - 4 ]
D = ( h + 4 ) 2 ( h - 1 ) 4 ( 2h - 1 )
D = 8 ( h + 4 ) ( h - 1 ) ( 2h - 1)

  • Cas particulier où b=1: ka + k = ka + 1k = k(a+1)

E = ( h - 5 ) ( 2h - 4 ) + ( h - 5 )
E = ( h - 5 ) [ ( 2h - 4 ) + 1 ]
E = ( h - 5 ) ( 2h - 3 )
F = ( 2h - 1 ) ( 3h - 4 ) - ( 3h - 4 )
F = ( 3h - 4 ) [ ( 2h - 1 ) - 1 ]
F = ( 3h - 4 ) ( 2h - 2 )
F = 2 ( 3h - 4 ) ( h -1 )
G = ( 2h - 1 ) ( h + 1 ) + h + 1
G = ( 2h - 1 ) ( h + 1 ) + ( h + 1 )
G = ( h + 1 ) [ ( 2h - 1 ) + 1 ]
G = 2h ( h + 1 )
H = ( -h + 4 ) ( 2h - 4 ) - h + 4
H = ( -h + 4 ) ( 2h - 4 ) + ( -h + 4 )
H = ( -h + 4 ) [ ( 2h - 4 ) + 1 ]
H = ( -h + 4 ) ( 2h - 3 )

  • Cas particulier où a=k:
  • k^2 + kb = k(k + b)

I = ( 2h - 5 )^2 - ( 2h - 5 ) ( 2h + 2 )
I = ( 2h - 5 ) ( 2h - 5 ) - ( 2h - 5 ) ( 2h + 2 )
I = ( 2h - 5 ) [ ( 2h - 5 ) - ( 2h + 2 )]
I = ( 2h - 5 ) [ 2h -5 -2h - 2 ]
I = -7 ( 2h - 5 )
J = ( h - 4 )^2 + h - 4
J = ( h - 4 ) ( h - 4 ) + ( h - 4 )
J = ( h - 4 ) [ ( h - 4 ) + 1 ]
J = ( h - 4 ) ( h - 3 )

Factoriser dans facteur en commun

Il s’agit de reconnaître que factoriser par k c’est en fait diviser par k.
a + b = \frac{a*k}{k} + \frac{b*k}{k}\ = k(\frac{a}{k} + \frac{b}{k})

  • Mettre 2 en facteur l’expression 2x+1, c’est écrire:

A(x) = 2x+1
A(x) = 2(\frac{2x}{2}+\frac{1}{2})
A(x) = 2(x+\frac{1}{2})

  • Mettre x en facteur l’expression 2x^2+x+1, c’est écrire:

B(x) = 2x^2+x+1
B(x) = x(\frac{2x^2}{x} + \frac{x}{x} + \frac{1}{x})
B(x) = x(2x + 1 + \frac{1}{x})