Géométrie dans l’espace – Seconde – Fiche de cours

Cette fiche de maths est un cours sur la géométrie dans l’espace en classe de seconde.

Les principaux points abordés sont:

  • Perspective cavalière
  • Patrons
  • Géométrie plane dans l’espace
  • Droites Plans
  • Axiomes de Géométrie dans l’espace
  • Positions relatives de deux droites
  • Positions relatives de deux plans
  • Positions relatives d’une droite et d’un plan
  • Propriétés de parallélisme dans l’espace

Perspective cavalière

Définition

  • Les objets des plans frontaux sont représentés en vraie grandeur ;
  • Les fuyantes sont représentées par des droites faisant toutes le même angle avec les droites horizontales, cet angle est l’angle de fuite de la perspective ;
  • Sur les fuyantes, les longueurs sont réduites (ou agrandies) dans un même rapport, ce rapport est le coefficient de réduction de la perspective.

Propriétés

  • Trois points alignés sont représentés par 3 points alignés.
  • Le milieu d’un segment est représenté par le milieu du segment dessiné.
  • Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles.
  • Les longueurs sont conservés dans les plans frontaux.

Droites et plans de l’espace

Les différentes positions
Soit P et P’ deux plans, on peut avoir :
a) P et P’ confondus : P= P’ .
b) P et P’ strictement parallèles : P∩P’ =∅ .
c) P et P’ sécants suivant une droite (Δ) : P∩P’ = (Δ)

Propriétés

  • Si deux plans distincts de l’espace ont un point commun, ils ont exactement une droite commune passant par ce point.
  • Si une droite D est parallèle à un plan P alors toute droite parallèle à D est parallèle à tout plan parallèle à P.
  • Il n’existe qu’un seul plan parallèle à un plan donné et passant par un point donné.
  • Si deux plans sont parallèles à un même troisième, ils sont parallèles entre eux.
  • Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’un est perpendiculaire à l’autre.

Théorème

Si un plan P contient deux droites sécantes et parallèles à un plan P’ alors les plans P et P’ sont parallèles.

Propriété

Si une droite D est parallèle à un plan P tout plan P’ contenant D et coupant P le coupe suivant une parallèle à D.

Théorème du toit

Soient deux droites D et D’ sont parallèles. Lorsqu’un plan P contenant D est sécant à un plan P’ contenant D’, leur droite d’intersection Δ est parallèle à D et à D’.

Propriété

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

Méthode pour déterminer l’intersection de 2 plans P et P’
sécants selon une droite D.

  • On trouve 2 points A et B distincts appartenant tous deux à P et P’ . Alors : D = (AB).
  • On trouve un point A commun aux deux plans et une droite Δ de l’un parallèle à l’autre. Alors D est la parallèle à Δ passant par A.
  • On trouve un point A commun aux deux plans et une droite Δ intersection de P et d’un plan parallèle à P’ . Alors D est la parallèle à Δ passant par A.

Méthode pour déterminer l’intersection d’une droite D et d’un plan P.

On trouve une droite Δ de P coplanaire et sécante avec D. Alors : D∩P=D∩Δ.

Méthode du plan auxiliaire

On trouve un plan Q contenant D puis on détermine l’intersection (c’est une droite Δ ) des plans P et D. Alors : D ∩P=D∩Δ

Volumes des solides usuels

Le parallélépipède rectangle

V = L*l*h

La pyramide

V = \frac{A*h}{3}

Le cylindre

V = A*h = \pi*r^2*h

Le cône

V = \frac{A*h}{3} = \frac{\pi*r^2*h}{3}

La boule

V = \frac{4*\pi*r^3}{3}

S = 4*\pi*r^2