Le second degré – Première – Fiche de synthèse

Ce cours de maths est une fiche de synthèse sur le second degré. Elle permet de faire le point sur ce qu’il y a à savoir sur les formes développées, canoniques et factorisée.

L’essentiel sur le second degré en classe de première

  • Voici comment déterminer la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré.
  • Vous allez apprendre grâce à plusieurs formules à résoudre une équation du second degré.

Définitions: fonctions, trinômes et équations du second degré

Etant donnés trois nombres réels a, b et c, avec a ≠ 0, la fonction f, définie sur par
f(x) =ax^2 +bx +c

est appelée fonction polynôme de degré deux ou encore fonction du second degré.
La quantité

ax^2 +bx +c ,

est appelée trinôme du second degré ou plus.
simplement trinôme.
L’équation

ax^2 +bx +c=0 ,

est appelée équation du second degré.

Théorème: Trinôme du second degré

Tout trinôme du second degré

ax^2 +bx +c

peut s’écrire sous la forme

ax^2 +bx +c=a(x-\alpha)^2+\beta

où α et β sont tels que:
\alpha=-\frac{b}{2a}
\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}

Définition: Le discriminant

La quantité

\Delta= b^2-4ac

est appelée discriminant du trinôme, on le note Δ .

Propriété du trinôme

 Δ > 0Δ = 0Δ < 0
RacinesPas de racine
Forme
factorisée
Pas de factorisation
SigneSigne de a, sauf entre les racinesSigne de a et le trinôme s'annule pour x=αSigne de a et le trinôme ne s'annule jamais

Propriété d’une fonction du second degré

Le tableau de variation de la fonction f est:

  • Si a > 0

  • Si a < 0

Symétrie

La parabole représente une fonction polynôme de degré deux. Elle admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation

x=-\frac{b}{2a}

Sommet de la parabole

Le sommet de cette parabole a pour coordonnées

(-\frac{b}{2a};f(-\frac{b}{2a}))
c’est le point d’intersection de la parabole avec son axe de symétrie.